Conjunciones repetidas, disyunciones repetidas, mezcla de disyunciones y conjunciones

Nuestras conectivas son diádicas. Eso significa que las siguientes no son fórmulas:

p & q & r

p + q + r

 

Entonces, ¿qué pasa por ejemplo con un enunciado como el siguiente?

Juan es peruano, Betty es boliviana y Cathy es chilena.

Está claro que ese enunciado expresa lo mismo que el siguiente otro:

Juan es peruano, y Betty es boliviana, y Cathy es chilena.

Lo que tenemos aquí son dos conjunciones. Sean p: ‘Juan es peruano’; q: ‘Betty es boliviana’; r: ‘Cathy es chilena’. La estructura lógica, ¿debe entenderse como en (i) o como en (ii)?

(i) (p & q) & r

(ii) p & (q & r)

Respuesta: Cualquiera de las dos maneras está bien. Puesto que la conjunción tiene propiedad asociativa (igual que la suma en aritmética), da igual cómo se agrupen los términos. Pero siempre hay que agruparlos de manera que cada conjunción (&) tenga  sus DOS términos prescriptivos.

Mutatis mutandis, lo mismo puede decirse cuando tenemos varias disyunciones, como en:

Comeré sobras, o comeré migas de pan, o comeré basura. (*)

En este caso (con el diccionario p: ‘comeré sobras’; q: ‘comeré migas de pan’; r: ‘comeré basura’), cualquiera de las dos variantes siguientes es correcta: 

(i) (p + q) + r

(ii) p + (q + r)

¿Y qué pasa si lo que tenemos es una combinación de conjunción y disyunción? ¿Da lo mismo cómo agruparlas? Respuesta: NO, enfáticamente, NO. Es muy raro que nos encontremos con un caso así en el lenguaje ordinario y que la expresión no sea insanablemente ambigua. Ya veremos algún caso. Pero que quede claro que, por ejemplo, estas dos fórmulas NO se pueden equiparar: 

(p & q) + r       ≠        p & (q + r)

Ya veremos más adelante por qué no se puede, y qué propiedad podemos mencionar que es de aplicación en casos como éste.

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(*) Normalmente esto se diría o escribiría sin repetir el verbo: “Comeré sobras, o migas de pan, o basura”, y además sin la primera ‘o’: “Comeré sobras, migas de pan o basura”.